Resolver {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-y=-5$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+2y=1$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$x=-2y+1$$

Substitua -2y+1 por x na outra equação, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Some -2y com -y.

$$-3y+1=-5$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$-3y=-6$$

Divida ambos os lados por -3.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x=-2y+1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-2\times 2+1$$

Multiplique -2 vezes 2.

$$x=-4+1$$

Some 1 com -4.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-y=-5$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-3,y=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a segunda equação. Subtraia y de ambos os lados.

$$x-y=-5$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Subtraia x-y=-5 de x+2y=1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$2y+y=1+5$$

Some 2y com y.

$$3y=1+5$$

Some 1 com 5.

$$3y=6$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x-y=-5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-2=-5$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$x=-3$$

O sistema está resolvido.

$$x=-3,y=2$$