Resolver {l}{9x+y=31}{5x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$9x+y=31$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$9x=-y+31$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

Multiplique \frac{1}{9} vezes -y+31.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

Substitua \frac{-y+31}{9} por x na outra equação, 5x-y=11.

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

Multiplique 5 vezes \frac{-y+31}{9}.

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

Some -\frac{5y}{9} com -y.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

Subtraia \frac{155}{9} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{14}{9}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=4$$

Substitua 4 por y em x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

Multiplique -\frac{1}{9} vezes 4.

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

Some \frac{31}{9} com -\frac{4}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=4$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=3,y=4$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Para tornar 9x e 5x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 5 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 9.

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

Simplifique.

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

Subtraia 45x-9y=99 de 45x+5y=155 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

Some 45x com -45x. Os termos 45x e -45x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$5y+9y=155-99$$

Some 5y com 9y.

$$14y=155-99$$

Some 155 com -99.

$$14y=56$$

Divida ambos os lados por 14.

$$y=4$$

Substitua 4 por y em 5x-y=11. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$5x-4=11$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$5x=15$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=4$$