Resolver {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+y=6$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$2x=-y+6$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Substitua -\frac{y}{2}+3 por x na outra equação, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Multiplique 4 vezes -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Some -2y com -y.

$$-3y+12=7$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$-3y=-5$$

Divida ambos os lados por -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitua \frac{5}{3} por y em x=-\frac{1}{2}y+3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes \frac{5}{3} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Some 3 com -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Para tornar 2x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Simplifique.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Subtraia 8x-2y=14 de 8x+4y=24 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Some 8x com -8x. Os termos 8x e -8x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$4y+2y=24-14$$

Some 4y com 2y.

$$6y=24-14$$

Some 24 com -14.

$$6y=10$$

Divida ambos os lados por 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitua \frac{5}{3} por y em 4x-y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Some \frac{5}{3} a ambos os lados da equação.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$