Resolver {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+y=3$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$2x=-y+3$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitua \frac{-y+3}{2} por x na outra equação, x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Some -\frac{y}{2} com -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{3}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitua \frac{1}{3} por y em x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes \frac{1}{3} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Some \frac{3}{2} com -\frac{1}{6} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Para tornar 2x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Simplifique.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Subtraia 2x-2y=2 de 2x+y=3 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Some 2x com -2x. Os termos 2x e -2x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$y+2y=3-2$$

Some y com 2y.

$$3y=3-2$$

Some 3 com -2.

$$3y=1$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitua \frac{1}{3} por y em x-y=1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Some \frac{1}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$