Resolver {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Resolva para x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$2x+y=3$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$2x=-y+3$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitua \frac{-y+3}{2} por x na outra equação, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Some -\frac{y}{2} com y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multiplique ambos os lados por 2.

$$y=7$$

Substitua 7 por y em x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Some \frac{3}{2} com -\frac{7}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-2$$

O sistema está resolvido.

$$x=-2,y=7$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-2,y=7$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Subtraia x+y=5 de 2x+y=3 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$2x-x=3-5$$

Some 2x com -x.

$$x=3-5$$

Some 3 com -5.

$$x=-2$$

Substitua -2 por x em x+y=5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$-2+y=5$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$y=7$$

O sistema está resolvido.

$$x=-2,y=7$$