Resolver {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x+4y=2060$$

Subtraia 4y de ambos os lados da equação.

$$2x=-4y+2060$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Substitua -2y+1030 por x na outra equação, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Multiplique 5 vezes -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Some -10y com 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Subtraia 5150 de ambos os lados da equação.

$$-3y=-3510$$

Divida ambos os lados por -3.

$$y=1170$$

Substitua 1170 por y em x=-2y+1030. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Multiplique -2 vezes 1170.

$$x=-2340+1030$$

Some 1030 com -2340.

$$x=-1310$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1310,y=1170$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1310,y=1170$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Para tornar 2x e 5x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 5 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Simplifique.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Subtraia 10x+14y=3280 de 10x+20y=10300 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Some 10x com -10x. Os termos 10x e -10x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$20y-14y=10300-3280$$

Some 20y com -14y.

$$6y=10300-3280$$

Some 10300 com -3280.

$$6y=7020$$

Divida ambos os lados por 6.

$$y=1170$$

Substitua 1170 por y em 5x+7y=1640. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Multiplique 7 vezes 1170.

$$5x+8190=1640$$

Subtraia 8190 de ambos os lados da equação.

$$5x=-6550$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=-1310$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1310,y=1170$$