Resolver {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Resolva para m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Escolha uma das equações e resolver por m , isolando m no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2m+3n=1$$

Subtraia 3n de ambos os lados da equação.

$$2m=-3n+1$$

Divida ambos os lados por 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{-3n+1}{2} por m na outra equação, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Multiplique \frac{5}{3} vezes \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Some -\frac{5n}{2} com -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Subtraia \frac{5}{6} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{9}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Substitua -\frac{1}{27} por n em m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplique -\frac{3}{2} vezes -\frac{1}{27} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com \frac{1}{18} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$m=\frac{5}{9}$$

O sistema está resolvido.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos m e n da matriz.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Para tornar 2m e \frac{5m}{3} iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por \frac{5}{3} e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Simplifique.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Subtraia \frac{10}{3}m-4n=2 de \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Some \frac{10m}{3} com -\frac{10m}{3}. Os termos \frac{10m}{3} e -\frac{10m}{3} são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Some 5n com 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Some \frac{5}{3} com -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Divida ambos os lados por 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Substitua -\frac{1}{27} por n em \frac{5}{3}m-2n=1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para m.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Multiplique -2 vezes -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Subtraia \frac{2}{27} de ambos os lados da equação.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{5}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$m=\frac{5}{9}$$

O sistema está resolvido.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$