Resolver {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2ax+by=14$$

Subtraia by de ambos os lados da equação.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Divida ambos os lados por 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Multiplique \frac{1}{2a} vezes -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Substitua \frac{-by+14}{2a} por x na outra equação, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Multiplique -2 vezes \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Some \frac{by}{a} com 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Some \frac{14}{a} a ambos os lados da equação.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Divida ambos os lados por 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Substitua \frac{14-19a}{9a+b} por y em x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Multiplique -\frac{b}{2a} vezes \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Some \frac{7}{a} com -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Para tornar 2ax e -2x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -2 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Simplifique.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Subtraia \left(-4a\right)x+18ay=-38a de \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Some -4ax com 4ax. Os termos -4ax e 4ax são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Some -2by com -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Some -28 com 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Divida ambos os lados por -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Substitua -\frac{-14+19a}{b+9a} por y em -2x+9y=-19. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Multiplique 9 vezes -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Some \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} a ambos os lados da equação.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Divida ambos os lados por -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$