Resolver {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combine x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Subtraia 5y de ambos os lados.

$$4x+5-5y=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$4x-5y=-5$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$4x-5y=-5$$

Some 5y a ambos os lados da equação.

$$4x=5y-5$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substitua \frac{-5+5y}{4} por x na outra equação, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Multiplique 3 vezes \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Some \frac{15y}{4} com y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Some \frac{15}{4} a ambos os lados da equação.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{19}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Some -\frac{5}{4} com \frac{5}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=0$$

O sistema está resolvido.

$$x=0,y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combine x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Subtraia 5y de ambos os lados.

$$4x+5-5y=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$4x-5y=-5$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=0,y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combine x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Subtraia 5y de ambos os lados.

$$4x+5-5y=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$4x-5y=-5$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Para tornar 4x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Simplifique.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Subtraia 12x+4y=4 de 12x-15y=-15 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Some 12x com -12x. Os termos 12x e -12x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-15y-4y=-15-4$$

Some -15y com -4y.

$$-19y=-15-4$$

Some -15 com -4.

$$-19y=-19$$

Divida ambos os lados por -19.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em 3x+y=1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x+1=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$3x=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=0$$

O sistema está resolvido.

$$x=0,y=1$$