Resolver {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$2x-y=4$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$2x=y+4$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Substitua \frac{y}{2}+2 por x na outra equação, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Multiplique 4 vezes \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Some 2y com 3y.

$$5y+8=3$$

Subtraia 8 de ambos os lados da equação.

$$5y=-5$$

Divida ambos os lados por 5.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=\frac{1}{2}y+2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Some 2 com -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Para tornar 2x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Simplifique.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Subtraia 8x+6y=6 de 8x-4y=16 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Some 8x com -8x. Os termos 8x e -8x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-4y-6y=16-6$$

Some -4y com -6y.

$$-10y=16-6$$

Some 16 com -6.

$$-10y=10$$

Divida ambos os lados por -10.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em 4x+3y=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Multiplique 3 vezes -1.

$$4x-3=3$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$4x=6$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$