Resolver ∫ x^4(4x^2-3)^2

$$\int x ^ { 4 } ( 4 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 }$$

Avaliar

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}+С$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x^{2}-3\right)^{2}.

$$\int x^{4}\left(16\left(x^{2}\right)^{2}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$\int x^{4}\left(16x^{4}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{4} por 16x^{4}-24x^{2}+9.

$$\int 16x^{8}-24x^{6}+9x^{4}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 16x^{8}\mathrm{d}x+\int -24x^{6}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$16\int x^{8}\mathrm{d}x-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{8}\mathrm{d}x por \frac{x^{9}}{9}. Multiplique 16 vezes \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{6}\mathrm{d}x por \frac{x^{7}}{7}. Multiplique -24 vezes \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplique 9 vezes \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}$$

Simplifique.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}$$

Se F\left(x\right) é um antiderivado de f\left(x\right), então o conjunto de todos os antiderivados de f\left(x\right) é dado por F\left(x\right)+C. Por isso, adicione a constante de integração C\in \mathrm{R} ao resultado.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}+С$$

Calcular a diferenciação com respeito a x

$$x^{4}\left(4x^{2}-3\right)^{2}$$