Resolver ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Avaliar

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Passos Para a Resolução

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar \sqrt{x}+1 por \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Calcule \sqrt{x} elevado a 2 e obtenha x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Reescreva \sqrt{x} como x^{\frac{1}{2}}. Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x por \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifique.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplifique.

$$\frac{271}{6}$$