Resolver ∫ (from 1 to 4) of x-(x-2)^2 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } x - ( x - 2 ) ^ { 2 } d x$$

Avaliar

$$\frac{9}{2}=4,5$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$\int _{1}^{4}x-\left(x^{2}-4x+4\right)\mathrm{d}x$$

Para calcular o oposto de x^{2}-4x+4, calcule o oposto de cada termo.

$$\int _{1}^{4}x-x^{2}+4x-4\mathrm{d}x$$

Combine x e 4x para obter 5x.

$$\int _{1}^{4}5x-x^{2}-4\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 5x-x^{2}-4\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 5x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$5\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplique 5 vezes \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{5x^{2}}{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplique -1 vezes \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+\int -4\mathrm{d}x$$

Encontre a integral de -4 usando a tabela de integrais comuns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-4x$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{5}{2}\times 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}-4\times 4-\left(\frac{5}{2}\times 1^{2}-\frac{1^{3}}{3}-4\right)$$

Simplifique.

$$\frac{9}{2}$$