Resolver ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Avaliar

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Calcule \sqrt{x} elevado a 2 e obtenha x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Para calcular o oposto de 16-8\sqrt{x}+x, calcule o oposto de cada termo.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Subtraia 16 de 6 para obter -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Encontre a integral de -10 usando a tabela de integrais comuns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Reescreva \sqrt{x} como x^{\frac{1}{2}}. Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x por \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifique. Multiplique 8 vezes \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplique -1 vezes \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Simplifique.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplifique.

$$-\frac{16}{3}$$