Resolver ∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Avaliar

$$\frac{1024}{105}\approx 9,752380952$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x-x^{3}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para multiplicar as potências da mesma base, some os seus expoentes. Some 1 e 3 para obter 4.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 3 e 2 para obter 6.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplique 16 vezes \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplique -8 vezes \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{6}\mathrm{d}x por \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Simplifique.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplifique.

$$\frac{1024}{105}$$