Resolver ∫ (from 0 to 2) of (2x-5)^3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 x - 5 ) ^ { 3 } d x$$

Avaliar

$$-78$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(2x-5\right)^{3}.

$$\int _{0}^{2}8x^{3}-60x^{2}+150x-125\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 8x^{3}-60x^{2}+150x-125\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 8x^{3}\mathrm{d}x+\int -60x^{2}\mathrm{d}x+\int 150x\mathrm{d}x+\int -125\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$8\int x^{3}\mathrm{d}x-60\int x^{2}\mathrm{d}x+150\int x\mathrm{d}x+\int -125\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplique 8 vezes \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{4}-60\int x^{2}\mathrm{d}x+150\int x\mathrm{d}x+\int -125\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplique -60 vezes \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{4}-20x^{3}+150\int x\mathrm{d}x+\int -125\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplique 150 vezes \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{4}-20x^{3}+75x^{2}+\int -125\mathrm{d}x$$

Encontre a integral de -125 usando a tabela de integrais comuns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{4}-20x^{3}+75x^{2}-125x$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$2\times 2^{4}-20\times 2^{3}+75\times 2^{2}-125\times 2-\left(2\times 0^{4}-20\times 0^{3}+75\times 0^{2}-125\times 0\right)$$

Simplifique.

$$-78$$