Resolver ∫ (from 0 to 1) of (2x-1)^2 wrt x=

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } d x =$$

Avaliar

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplique 4 vezes \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplique -4 vezes \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Encontre a integral de 1 usando a tabela de integrais comuns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}-2\times 1^{2}+1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{2}+0\right)$$

Simplifique.

$$\frac{1}{3}$$