Resolver ∫ (from 0 to 1) of (1-4x)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 4 x ) ^ { 2 } d x$$

Avaliar

$$\frac{7}{3}\approx 2,333333333$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-4x\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$\int 1\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Encontre a integral de 1 usando a tabela de integrais comuns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplique -8 vezes \frac{x^{2}}{2}.

$$x-4x^{2}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplique 16 vezes \frac{x^{3}}{3}.

$$x-4x^{2}+\frac{16x^{3}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$1-4\times 1^{2}+\frac{16}{3}\times 1^{3}-\left(0-4\times 0^{2}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplifique.

$$\frac{7}{3}$$