Resolver ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}(2y-3y^2-y^2) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 y - 3 y ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) d y$$

Avaliar

$$\frac{1}{12}\approx 0,083333333$$

Passos Para a Resolução

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int 2y-3y^{2}-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int 2y\mathrm{d}y+\int -3y^{2}\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$2\int y\mathrm{d}y-3\int y^{2}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Desde \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int y\mathrm{d}y por \frac{y^{2}}{2}. Multiplique 2 vezes \frac{y^{2}}{2}.

$$y^{2}-3\int y^{2}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Desde \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int y^{2}\mathrm{d}y por \frac{y^{3}}{3}. Multiplique -3 vezes \frac{y^{3}}{3}.

$$y^{2}-y^{3}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Desde \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int y^{2}\mathrm{d}y por \frac{y^{3}}{3}. Multiplique -1 vezes \frac{y^{3}}{3}.

$$y^{2}-y^{3}-\frac{y^{3}}{3}$$

Simplifique.

$$y^{2}-\frac{4y^{3}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{4}{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(0^{2}-\frac{4}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplifique.

$$\frac{1}{12}$$