Resolver ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}sqrt{2x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 2 x } d x$$

Avaliar

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos Para a Resolução

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int \sqrt{2x}\mathrm{d}x$$

Excluir a constante através do \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Reescreva \sqrt{x} como x^{\frac{1}{2}}. Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x por \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifique.

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Simplifique.

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

Simplifique.

$$\frac{1}{3}$$