Resolver ∫ (from - 1 to 1) of t(1-t)^2dt

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } t ( 1 - t ) ^ { 2 } d t$$

Avaliar

$$-\frac{4}{3}\approx -1,333333333$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-t\right)^{2}.

$$\int _{-1}^{1}t\left(1-2t+t^{2}\right)\mathrm{d}t$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar t por 1-2t+t^{2}.

$$\int _{-1}^{1}t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Avalie primeiro a integral indefinida.

$$\int t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -2t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$\int t\mathrm{d}t-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Desde \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int t\mathrm{d}t por \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Desde \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int t^{2}\mathrm{d}t por \frac{t^{3}}{3}. Multiplique -2 vezes \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Desde \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int t^{3}\mathrm{d}t por \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{4}}{4}$$

Simplifique.

$$\frac{t^{4}}{4}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}$$

O integral definido é a antiderivada da expressão avaliada no limite superior de integração menos a antiderivada avaliada no limite inferior da integração.

$$\frac{1^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Simplifique.

$$-\frac{4}{3}$$