Resolver ∫ (x+x^2)^2

$$\int ( x + x ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Avaliar

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+x^{2}\right)^{2}.

$$\int x^{2}+2xx^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para multiplicar as potências da mesma base, some os seus expoentes. Some 1 e 2 para obter 3.

$$\int x^{2}+2x^{3}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$\int x^{2}+2x^{3}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da soma pelo termo.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Considere a constante em cada um dos termos.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplique 2 vezes \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{2}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Desde \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, substitua \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}$$

Se F\left(x\right) é um antiderivado de f\left(x\right), então o conjunto de todos os antiderivados de f\left(x\right) é dado por F\left(x\right)+C. Por isso, adicione a constante de integração C\in \mathrm{R} ao resultado.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Calcular a diferenciação com respeito a x

$$\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}$$