Resolver d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Avaliar

$$\cos(x)$$

Passos Para Utilizar a Definição de Uma Derivada

Para uma função f\left(x\right), a derivada é o limite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} pois h vai para 0, se esse limite existir.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Utilize a Fórmula de Soma do Seno.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Decomponha \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Reescreva o limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Utilize o facto de que x é uma constante quando os limites de cálculo como h vão para 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

O limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Para avaliar o limite de \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, em primeiro lugar multiplique o numerador e o denominador por \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplique \cos(h)+1 vezes \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Utilize a Identidade Fundamental (Teorema de Pitágoras).

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Reescreva o limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

O limite de \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Utilize o facto de que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} é contínuo em 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substitua o valor 0 na expressão \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Calcular a diferenciação com respeito a x

$$-\sin(x)$$