Resolver x-1/x-2+x-7/x-8=x-3/x-4+x-5/x-6

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } + \frac{ x-7 }{ x-8 } = \frac{ x-3 }{ x-4 } + \frac{ x-5 }{ x-6 }$$

Resolva para x

$$x=5$$

Passos Para Resolver Uma Equação Linear

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 2,4,6,8, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right), o mínimo múltiplo comum de x-2,x-8,x-4,x-6.

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-8 por x-6 e combinar termos semelhantes.

$$\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-14x+48 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$\left(x^{3}-18x^{2}+104x-192\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{3}-18x^{2}+104x-192 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-6 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{2}-10x+24\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-10x+24 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{3}-12x^{2}+44x-48\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{3}-12x^{2}+44x-48 por x-7 e combinar termos semelhantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+x^{4}-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combine x^{4} e x^{4} para obter 2x^{4}.

$$2x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combine -19x^{3} e -19x^{3} para obter -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+122x^{2}-296x+192+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combine 122x^{2} e 128x^{2} para obter 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-296x+192-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combine -296x e -356x para obter -652x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+192+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Some 192 e 336 para obter 528.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-8 por x-6 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-14x+48 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{3}-16x^{2}+76x-96\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{3}-16x^{2}+76x-96 por x-3 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-8 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{2}-12x+32\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-12x+32 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{3}-14x^{2}+56x-64\right)\left(x-5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{3}-14x^{2}+56x-64 por x-5 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+x^{4}-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combine x^{4} e x^{4} para obter 2x^{4}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combine -19x^{3} e -19x^{3} para obter -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+124x^{2}-324x+288+126x^{2}-344x+320$$

Combine 124x^{2} e 126x^{2} para obter 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-324x+288-344x+320$$

Combine -324x e -344x para obter -668x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+288+320$$

Some 288 e 320 para obter 608.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Subtraia 2x^{4} de ambos os lados.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528-2x^{4}=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Combine 2x^{4} e -2x^{4} para obter 0.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Adicionar 38x^{3} em ambos os lados.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528+38x^{3}=250x^{2}-668x+608$$

Combine -38x^{3} e 38x^{3} para obter 0.

$$250x^{2}-652x+528=250x^{2}-668x+608$$

Subtraia 250x^{2} de ambos os lados.

$$250x^{2}-652x+528-250x^{2}=-668x+608$$

Combine 250x^{2} e -250x^{2} para obter 0.

$$-652x+528=-668x+608$$

Adicionar 668x em ambos os lados.

$$-652x+528+668x=608$$

Combine -652x e 668x para obter 16x.

$$16x+528=608$$

Subtraia 528 de ambos os lados.

$$16x=608-528$$

Subtraia 528 de 608 para obter 80.

$$16x=80$$

Divida ambos os lados por 16.

$$x=\frac{80}{16}$$

Dividir 80 por 16 para obter 5.

$$x=5$$