Resolver x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Resolva para x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -\frac{1}{2},1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), o mínimo múltiplo comum de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplique x-1 e x-1 para obter \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplique 2x+1 e 2x+1 para obter \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combine 4x^{2} e 6x^{2} para obter 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combine 4x e -3x para obter x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtraia 3 de 1 para obter -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtraia 10x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combine x^{2} e -10x^{2} para obter -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combine -2x e -x para obter -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Adicionar 2 em ambos os lados.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Some 1 e 2 para obter 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -9 por a, -3 por b e 3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique -4 vezes -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique 36 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Some 9 com 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

O oposto de -3 é 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique 2 vezes -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} quando ± for uma adição. Some 3 com 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Divida 3+3\sqrt{13} por -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} quando ± for uma subtração. Subtraia 3\sqrt{13} de 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Divida 3-3\sqrt{13} por -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -\frac{1}{2},1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), o mínimo múltiplo comum de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplique x-1 e x-1 para obter \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplique 2x+1 e 2x+1 para obter \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combine 4x^{2} e 6x^{2} para obter 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combine 4x e -3x para obter x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Subtraia 3 de 1 para obter -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Subtraia 10x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combine x^{2} e -10x^{2} para obter -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combine -2x e -x para obter -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Subtraia 1 de -2 para obter -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Divida ambos os lados por -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Dividir por -9 anula a multiplicação por -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Reduza a fração \frac{-3}{-9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Reduza a fração \frac{-3}{-9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divida \frac{1}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Some \frac{1}{3} com \frac{1}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Subtraia \frac{1}{6} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$