Resolver 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Resolva para x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combine 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraia 4x de ambos os lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combine 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-1. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescreva 2x^{2}-x-1 como \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Decomponha 2x em 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-1=0 e 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combine 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraia 4x de ambos os lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combine 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -2 por b e -2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Some 4 com 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±6}{8} quando ± for uma adição. Some 2 com 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divida 8 por 8.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±6}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 6 de 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{-4}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combine x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combine 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Subtraia 4x de ambos os lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combine 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Adicionar 2 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$4x^{2}-2x=2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{-2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divida -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{1}{4}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{1}{4} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Some \frac{1}{2} com \frac{1}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Some \frac{1}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$