Resolver 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Resolva para x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -20,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+20\right), o mínimo múltiplo comum de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 2 para obter 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combine x\times 400 e x\times 160 para obter 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 3 para obter 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+20 por 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combine 560x e 240x para obter 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 11x por x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtraia 11x^{2} de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtraia 220x de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combine 800x e -220x para obter 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -11x^{2}+ax+bx+4800. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

A solução é o par que devolve a soma 580.

$$a=660 b=-80$$

Reescreva -11x^{2}+580x+4800 como \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Fator out 11x no primeiro e 80 no segundo grupo.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Decomponha o termo comum -x+60 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+60=0 e 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -20,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+20\right), o mínimo múltiplo comum de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 2 para obter 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combine x\times 400 e x\times 160 para obter 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 3 para obter 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+20 por 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combine 560x e 240x para obter 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 11x por x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtraia 11x^{2} de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtraia 220x de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combine 800x e -220x para obter 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -11 por a, 580 por b e 4800 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Calcule o quadrado de 580.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplique -4 vezes -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Multiplique 44 vezes 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Some 336400 com 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Multiplique 2 vezes -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-580±740}{-22} quando ± for uma adição. Some -580 com 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Reduza a fração \frac{160}{-22} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-580±740}{-22} quando ± for uma subtração. Subtraia 740 de -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Divida -1320 por -22.

$$x=60$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -20,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+20\right), o mínimo múltiplo comum de x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 2 para obter 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combine x\times 400 e x\times 160 para obter 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividir 400 por 5 para obter 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Multiplique 80 e 3 para obter 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+20 por 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combine 560x e 240x para obter 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 11x por x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Subtraia 11x^{2} de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Subtraia 220x de ambos os lados.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combine 800x e -220x para obter 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Subtraia 4800 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Divida ambos os lados por -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Dividir por -11 anula a multiplicação por -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Divida 580 por -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Divida -4800 por -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Divida -\frac{580}{11}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{290}{11}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{290}{11} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{290}{11}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Some \frac{4800}{11} com \frac{84100}{121} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Fatorize x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Some \frac{290}{11} a ambos os lados da equação.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$