Resolver frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Avaliar

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Considere \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Calcule o quadrado de 2. Calcule o quadrado de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Subtraia 3 de 4 para obter 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Qualquer número dividido por um resulta no próprio número.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multiplique 2+\sqrt{3} e 2+\sqrt{3} para obter \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Racionalize o denominador de \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Considere \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcule o quadrado de 2. Calcule o quadrado de \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Subtraia 3 de 4 para obter 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Qualquer número dividido por um resulta no próprio número.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multiplique 2-\sqrt{3} e 2-\sqrt{3} para obter \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Some 4 e 3 para obter 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Some 4 e 3 para obter 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Para calcular o oposto de 7-4\sqrt{3}, calcule o oposto de cada termo.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

O oposto de -4\sqrt{3} é 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Subtraia 7 de 7 para obter 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combine 4\sqrt{3} e 4\sqrt{3} para obter 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$