Resolver 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 2,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-3\right)\left(x-2\right), o mínimo múltiplo comum de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combine 2x e 3x para obter 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraia 9 de -4 para obter -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-9 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtraia 3x^{2} de ambos os lados.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Adicionar 15x em ambos os lados.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combine 5x e 15x para obter 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Subtraia 18 de ambos os lados.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Subtraia 18 de -13 para obter -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 20 por b e -31 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Some 400 com -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} quando ± for uma adição. Some -20 com 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Divida -20+2\sqrt{7} por -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{7} de -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Divida -20-2\sqrt{7} por -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 2,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-3\right)\left(x-2\right), o mínimo múltiplo comum de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combine 2x e 3x para obter 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraia 9 de -4 para obter -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x-9 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Subtraia 3x^{2} de ambos os lados.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Adicionar 15x em ambos os lados.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combine 5x e 15x para obter 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Adicionar 13 em ambos os lados.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Some 18 e 13 para obter 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Divida 20 por -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Divida 31 por -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Divida -\frac{20}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{10}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{10}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{10}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Some -\frac{31}{3} com \frac{100}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Fatorize x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Some \frac{10}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$