Resolver x-2/x^2-x-6=3/2x+4-x/4-x^2

$$\frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { 2 x + 4 } - \frac { x } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Resolva para x

$$x=1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-4 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-5x+6 por 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6-2x por x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 6x-2x^{2}, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combine -15x e -6x para obter -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combine 3x^{2} e 2x^{2} para obter 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combine 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adicionar 21x em ambos os lados.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combine -8x e 21x para obter 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Subtraia 18 de ambos os lados.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Subtraia 18 de 8 para obter -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx-10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=13 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A solução é o par que devolve a soma 13.

$$a=10 b=3$$

Reescreva -3x^{2}+13x-10 como \left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Decomponha -x em -3x^{2}+10x.

$$-x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Decomponha o termo comum 3x-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-10\right)\left(-x+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-10=0 e -x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-4 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-5x+6 por 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6-2x por x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 6x-2x^{2}, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combine -15x e -6x para obter -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combine 3x^{2} e 2x^{2} para obter 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combine 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adicionar 21x em ambos os lados.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combine -8x e 21x para obter 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Subtraia 18 de ambos os lados.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Subtraia 18 de 8 para obter -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 13 por b e -10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-3\right)}$$

Some 169 com -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-13±7}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-13±7}{-6} quando ± for uma adição. Some -13 com 7.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Divida -6 por -6.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-13±7}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de -13.

$$x=-\frac{20}{-6}$$

Reduza a fração \frac{-20}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=\frac{10}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-4 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-5x+6 por 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6-2x por x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 6x-2x^{2}, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combine -15x e -6x para obter -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combine 3x^{2} e 2x^{2} para obter 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combine 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adicionar 21x em ambos os lados.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combine -8x e 21x para obter 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$-3x^{2}+13x=18-8$$

Subtraia 8 de 18 para obter 10.

$$-3x^{2}+13x=10$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+13x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{13}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Divida 13 por -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Divida 10 por -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divida -\frac{13}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{13}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{13}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{13}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Some -\frac{10}{3} com \frac{169}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{49}{36}$$

Fatorize x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{7}{6}$$

Some \frac{13}{6} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$