Resolver x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Resolva para x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x+6 por x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2}-12 por 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combine 3x^{2} e -6x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Adicionar 24 em ambos os lados.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplique -1 e 5 para obter -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combine 6x e -5x para obter x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx+24. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=9 b=-8$$

Reescreva -3x^{2}+x+24 como \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Decomponha 3x no primeiro grupo e 8 no segundo.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Decomponha o termo comum -x+3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione -x+3=0 e 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x+6 por x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2}-12 por 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combine 3x^{2} e -6x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Adicionar 24 em ambos os lados.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Multiplique -1 e 5 para obter -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combine 6x e -5x para obter x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 1 por b e 24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Some 1 com 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±17}{-6} quando ± for uma adição. Some -1 com 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Reduza a fração \frac{16}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±17}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 17 de -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divida -18 por -6.

$$x=3$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,0,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x+6 por x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x^{2}-12 por 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combine 3x^{2} e -6x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Multiplique -1 e 5 para obter -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Combine 6x e -5x para obter x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Divida 1 por -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Divida -24 por -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Divida -\frac{1}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{1}{6}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{1}{6} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Some 8 com \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Some \frac{1}{6} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$