Resolver x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Resolva para x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combine 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Subtraia 13x^{2} de ambos os lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combine 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Subtraia 13x de ambos os lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combine 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+6. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=2 b=-3$$

Reescreva -x^{2}-x+6 como \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Fator out x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Decomponha o termo comum -x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+2=0 e x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combine 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Subtraia 13x^{2} de ambos os lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combine 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Subtraia 13x de ambos os lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combine 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -1 por b e 6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Some 1 com 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±5}{-2} quando ± for uma adição. Some 1 com 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divida 6 por -2.

$$x=-3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±5}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 5 de 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divida -4 por -2.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=-3 x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combine 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Subtraia 13x^{2} de ambos os lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combine 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Subtraia 13x de ambos os lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combine 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Subtraia 6 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-x^{2}-x=-6$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Divida -1 por -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Divida -6 por -1.

$$x^{2}+x=6$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Some 6 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-3$$