Resolver x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Resolva para x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 21, o mínimo múltiplo comum de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere a segunda equação. Multiplique ambos os lados da equação por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$3x+7y=105$$

Subtraia 7y de ambos os lados da equação.

$$3x=-7y+105$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substitua -\frac{7y}{3}+35 por x na outra equação, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplique -1 vezes -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Some \frac{7y}{3} com 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Some 35 a ambos os lados da equação.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{133}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=9$$

Substitua 9 por y em x=-\frac{7}{3}y+35. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplique -\frac{7}{3} vezes 9.

$$x=-21+35$$

Some 35 com -21.

$$x=14$$

O sistema está resolvido.

$$x=14,y=9$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 21, o mínimo múltiplo comum de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere a segunda equação. Multiplique ambos os lados da equação por 14.

$$-x+42y=364$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=14,y=9$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 21, o mínimo múltiplo comum de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere a segunda equação. Multiplique ambos os lados da equação por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Para tornar 3x e -x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplifique.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Subtraia -3x+126y=1092 de -3x-7y=-105 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Some -3x com 3x. Os termos -3x e 3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Some -7y com -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Some -105 com -1092.

$$-133y=-1197$$

Divida ambos os lados por -133.

$$y=9$$

Substitua 9 por y em -x+42y=364. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplique 42 vezes 9.

$$-x+378=364$$

Subtraia 378 de ambos os lados da equação.

$$-x=-14$$

Divida ambos os lados por -1.

$$x=14$$

O sistema está resolvido.

$$x=14,y=9$$