Resolver x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Resolva para x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 20, o mínimo múltiplo comum de 5,4.

$$4x=5y$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substitua \frac{5y}{4} por x na outra equação, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Some -\frac{5y}{4} com y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplique ambos os lados por -4.

$$y=12$$

Substitua 12 por y em x=\frac{5}{4}y. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplique \frac{5}{4} vezes 12.

$$x=15$$

O sistema está resolvido.

$$x=15,y=12$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 20, o mínimo múltiplo comum de 5,4.

$$4x=5y$$

Subtraia 5y de ambos os lados.

$$4x-5y=0$$

Considere a segunda equação. Multiplique ambos os lados da equação por 3.

$$y=x-3$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=-3$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=15,y=12$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 20, o mínimo múltiplo comum de 5,4.

$$4x=5y$$

Subtraia 5y de ambos os lados.

$$4x-5y=0$$

Considere a segunda equação. Multiplique ambos os lados da equação por 3.

$$y=x-3$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=-3$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Para tornar 4x e -x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifique.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Subtraia -4x+4y=-12 de -4x+5y=0 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Some -4x com 4x. Os termos -4x e 4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$5y-4y=12$$

Some 5y com -4y.

$$y=12$$

Substitua 12 por y em -x+y=-3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-x+12=-3$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$-x=-15$$

Divida ambos os lados por -1.

$$x=15$$

O sistema está resolvido.

$$x=15,y=12$$