Resolver x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Resolva para x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplique x+2 e x+2 para obter \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x^{2} e 3x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x e -x para obter -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Subtraia 2 de 4 para obter 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+4x+4, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combine -4x e -4x para obter -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Subtraia 4 de 4 para obter 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combine x^{2} e 2x^{2} para obter 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Adicionar 8x em ambos os lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combine -3x e 8x para obter 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+6=7 2+3=5$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=2 b=3$$

Reescreva 3x^{2}+5x+2 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Decomponha x em 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Decomponha o termo comum 3x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x+2=0 e x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplique x+2 e x+2 para obter \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x^{2} e 3x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x e -x para obter -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Subtraia 2 de 4 para obter 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+4x+4, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combine -4x e -4x para obter -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Subtraia 4 de 4 para obter 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combine x^{2} e 2x^{2} para obter 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Adicionar 8x em ambos os lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combine -3x e 8x para obter 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 5 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Some 25 com -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±1}{6} quando ± for uma adição. Some -5 com 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduza a fração \frac{-4}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±1}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Divida -6 por 6.

$$x=-1$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplique x+2 e x+2 para obter \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x^{2} e 3x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combine -2x e -x para obter -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Subtraia 2 de 4 para obter 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+4x+4, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combine -4x e -4x para obter -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Subtraia 4 de 4 para obter 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combine x^{2} e 2x^{2} para obter 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Adicionar 8x em ambos os lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combine -3x e 8x para obter 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$5x+3x^{2}=-2$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divida \frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Some -\frac{2}{3} com \frac{25}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Subtraia \frac{5}{6} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$