Resolver x^2/2+10/3x+2=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 10 } { 3 } x + 2 = 0$$

Resolva para x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 2,3.

$$3x^{2}+20x+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A solução é o par que devolve a soma 20.

$$a=2 b=18$$

Reescreva 3x^{2}+20x+12 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right)$$

Fator out x no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$x\left(3x+2\right)+6\left(3x+2\right)$$

Decomponha o termo comum 3x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x+2=0 e x+6=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua \frac{1}{2} por a, \frac{10}{3} por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Calcule o quadrado de \frac{10}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplique -4 vezes \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-2\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplique -2 vezes 2.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Some \frac{100}{9} com -4.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{64}{9}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Calcule a raiz quadrada de \frac{64}{9}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplique 2 vezes \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} quando ± for uma adição. Some -\frac{10}{3} com \frac{8}{3} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{\frac{2}{3}}{1}$$

Divida -\frac{2}{3} por 1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} quando ± for uma subtração. Subtraia \frac{8}{3} de -\frac{10}{3} ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{6}{1}$$

Divida -6 por 1.

$$x=-6$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x=-2$$

Multiplique ambos os lados por 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dividir por \frac{1}{2} anula a multiplicação por \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{2}}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Divida \frac{10}{3} por \frac{1}{2} ao multiplicar \frac{10}{3} pelo recíproco de \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Divida -2 por \frac{1}{2} ao multiplicar -2 pelo recíproco de \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-4$$

Divida \frac{20}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{10}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{10}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=-4+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{10}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-4+\frac{100}{9}$$

Some -4 com \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{64}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{8}{3}$$

Subtraia \frac{10}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$