Resolver x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Resolva para x

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -9,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+9\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combine x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraia 8x^{2} de ambos os lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combine 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraia 72x de ambos os lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combine 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-3 b=-3$$

Reescreva x^{2}-6x+9 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Fator out x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva x-3=0.

$$x=3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -9,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+9\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combine x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraia 8x^{2} de ambos os lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combine 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraia 72x de ambos os lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combine 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -54 por b e 81 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Some 2916 com -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

O oposto de -54 é 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divida 54 por 18.

$$x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -9,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+9\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combine x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtraia 8x^{2} de ambos os lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combine 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtraia 72x de ambos os lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combine 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Subtraia 81 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Divida -54 por 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Divida -81 por 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divida -6, o coeficiente do termo x, 2 para obter -3. Em seguida, adicione o quadrado de -3 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Some -9 com 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Fatorize x^{2}-6x+9. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-3=0 x-3=0$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=3$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=3$$