Resolver t^2+3t/2=t+7/4

$$\frac { t ^ { 2 } + 3 t } { 2 } = \frac { t + 7 } { 4 }$$

Resolva para t

$$t = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$t=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplicar ambos os lados da equação por 4, o mínimo múltiplo comum de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Subtraia t de ambos os lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combine 6t e -t para obter 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Subtraia 7 de ambos os lados.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2t^{2}+at+bt-7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=-2 b=7$$

Reescreva 2t^{2}+5t-7 como \left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right).

$$\left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right)$$

Fator out 2t no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$2t\left(t-1\right)+7\left(t-1\right)$$

Decomponha o termo comum t-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-1\right)\left(2t+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-1=0 e 2t+7=0.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplicar ambos os lados da equação por 4, o mínimo múltiplo comum de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Subtraia t de ambos os lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combine 6t e -t para obter 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Subtraia 7 de ambos os lados.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 5 por b e -7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -7.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Some 25 com 56.

$$t=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$t=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$t=\frac{-5±9}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-5±9}{4} quando ± for uma adição. Some -5 com 9.

$$t=\frac{4}{4}$$

Divida 4 por 4.

$$t=1$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-5±9}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de -5.

$$t=-\frac{14}{4}$$

Reduza a fração \frac{-14}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$t=-\frac{7}{2}$$

A equação está resolvida.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplicar ambos os lados da equação por 4, o mínimo múltiplo comum de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Subtraia t de ambos os lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combine 6t e -t para obter 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2t^{2}+5t}{2}=\frac{7}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t=\frac{7}{2}$$

Divida \frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Some \frac{7}{2} com \frac{25}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Fatorize t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifique.

$$t+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} t+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraia \frac{5}{4} de ambos os lados da equação.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$