Resolver f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Resolva para f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 33, o mínimo múltiplo comum de 11,33.

$$3f=g$$

Divida ambos os lados por 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substitua \frac{g}{3} por f na outra equação, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Some \frac{g}{3} com g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{4}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$g=30$$

Substitua 30 por g em f=\frac{1}{3}g. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes 30.

$$f=10$$

O sistema está resolvido.

$$f=10,g=30$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 33, o mínimo múltiplo comum de 11,33.

$$3f=g$$

Subtraia g de ambos os lados.

$$3f-g=0$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos f e g da matriz.

$$f=10,g=30$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Multiplicar ambos os lados da equação por 33, o mínimo múltiplo comum de 11,33.

$$3f=g$$

Subtraia g de ambos os lados.

$$3f-g=0$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Para tornar 3f e f iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplifique.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Subtraia 3f+3g=120 de 3f-g=0 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Some 3f com -3f. Os termos 3f e -3f são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-g-3g=-120$$

Some -g com -3g.

$$-4g=-120$$

Divida ambos os lados por -4.

$$g=30$$

Substitua 30 por g em f+g=40. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para f.

$$f+30=40$$

Subtraia 30 de ambos os lados da equação.

$$f=10$$

O sistema está resolvido.

$$f=10,g=30$$