Resolver 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Resolva para x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 4x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combine 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraia 315x de ambos os lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combine 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+4500. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

A solução é o par que devolve a soma -15.

$$a=60 b=-75$$

Reescreva -x^{2}-15x+4500 como \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Fator out x no primeiro e 75 no segundo grupo.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Decomponha o termo comum -x+60 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+60=0 e x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 4x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combine 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraia 315x de ambos os lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combine 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -15 por b e 4500 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Some 225 com 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -15 é 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{15±135}{-2} quando ± for uma adição. Some 15 com 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Divida 150 por -2.

$$x=-75$$

Agora, resolva a equação x=\frac{15±135}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 135 de 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Divida -120 por -2.

$$x=60$$

A equação está resolvida.

$$x=-75 x=60$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 4x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplique 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combine 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraia 315x de ambos os lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combine 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Subtraia 4500 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Divida -15 por -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Divida -4500 por -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divida 15, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{15}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{15}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{15}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Some 4500 com \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Fatorize x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Subtraia \frac{15}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=60 x=-75$$