Resolver frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Resolva para k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplicar ambos os lados da equação por 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6 por k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para calcular o oposto de 9k^{4}-6k^{2}+1, calcule o oposto de cada termo.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combine 6k^{4} e -9k^{4} para obter -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combine 12k^{2} e 6k^{2} para obter 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Subtraia 1 de 6 para obter 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Subtraia 45k^{4} de ambos os lados.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Combine -12k^{4} e -45k^{4} para obter -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Subtraia 30k^{2} de ambos os lados.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Combine 72k^{2} e -30k^{2} para obter 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Subtraia 5 de ambos os lados.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Subtraia 5 de 20 para obter 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Substitua t por k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua -57 por a, 42 por b e 15 por c na fórmula quadrática.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Resolva a equação t=\frac{-42±72}{-114} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Desde k=t^{2}, as soluções são obtidas avaliando k=±\sqrt{t} para t positivos.

$$k=1 k=-1$$