Resolver 6+(3-x)^2/x+2-1geq2-x^2/-x-2

$$\frac { 6 + ( 3 - x ) ^ { 2 } } { x + 2 } - 1 \geq \frac { 2 - x ^ { 2 } } { - x - 2 }$$

Resolver o valor x

$$x\in (-2,\frac{15}{7}]$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3-x\right)^{2}.

$$\frac{6+9-6x+x^{2}}{x+2}-1\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Some 6 e 9 para obter 15.

$$\frac{15-6x+x^{2}}{x+2}-1\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique 1 vezes \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{15-6x+x^{2}}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Uma vez que \frac{15-6x+x^{2}}{x+2} e \frac{x+2}{x+2} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{15-6x+x^{2}-\left(x+2\right)}{x+2}\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Efetue as multiplicações em 15-6x+x^{2}-\left(x+2\right).

$$\frac{15-6x+x^{2}-x-2}{x+2}\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Combine termos semelhantes em 15-6x+x^{2}-x-2.

$$\frac{13-7x+x^{2}}{x+2}\geq \frac{2-x^{2}}{-x-2}$$

Subtraia \frac{2-x^{2}}{-x-2} de ambos os lados.

$$\frac{13-7x+x^{2}}{x+2}-\frac{2-x^{2}}{-x-2}\geq 0$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de x+2 e -x-2 é x+2. Multiplique \frac{2-x^{2}}{-x-2} vezes \frac{-1}{-1}.

$$\frac{13-7x+x^{2}}{x+2}-\frac{-\left(2-x^{2}\right)}{x+2}\geq 0$$

Uma vez que \frac{13-7x+x^{2}}{x+2} e \frac{-\left(2-x^{2}\right)}{x+2} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{13-7x+x^{2}-\left(-\left(2-x^{2}\right)\right)}{x+2}\geq 0$$

Efetue as multiplicações em 13-7x+x^{2}-\left(-\left(2-x^{2}\right)\right).

$$\frac{13-7x+x^{2}+2-x^{2}}{x+2}\geq 0$$

Combine termos semelhantes em 13-7x+x^{2}+2-x^{2}.

$$\frac{15-7x}{x+2}\geq 0$$

Para que o quociente seja ≥0, 15-7x e x+2 têm de ser ambos ≤0 ou ambos ≥0 e x+2 não podem ser zero. Considere o caso 15-7x\leq 0 e x+2 é negativo.

$$15-7x\leq 0 x+2<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Considere o caso 15-7x\geq 0 e x+2 é positivo.

$$15-7x\geq 0 x+2>0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(-2,\frac{15}{7}\right].

$$x\in (-2,\frac{15}{7}]$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in (-2,\frac{15}{7}]$$