Resolver 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Resolva para x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x-8 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Adicionar 16 em ambos os lados.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Some 5 e 16 para obter 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx+21. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

A solução é o par que devolve a soma 2.

$$a=9 b=-7$$

Reescreva -3x^{2}+2x+21 como \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Decomponha o termo comum -x+3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+3=0 e 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x-8 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Adicionar 16 em ambos os lados.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Some 5 e 16 para obter 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 2 por b e 21 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Some 4 com 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±16}{-6} quando ± for uma adição. Some -2 com 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Reduza a fração \frac{14}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±16}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divida -18 por -6.

$$x=3$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x-8 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Subtraia 5 de ambos os lados.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Subtraia 5 de -16 para obter -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Divida 2 por -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Divida -21 por -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Divida -\frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Some 7 com \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Fatorize x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Some \frac{1}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$