Resolver 45/x(x+15)+3/x+15=1

$$\frac { 45 } { x ( x + 15 ) } + \frac { 3 } { x + 15 } = 1$$

Resolva para x

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x\left(x+15\right),x+15.

$$45+x\times 3=x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$45+x\times 3=x^{2}+15x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}=15x$$

Subtraia 15x de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}-15x=0$$

Combine x\times 3 e -15x para obter -12x.

$$45-12x-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-12x+45=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+45. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-12 ab=-45=-45$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -12.

$$a=3 b=-15$$

Reescreva -x^{2}-12x+45 como \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-15x+45\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-15x+45\right)$$

Fator out x no primeiro e 15 no segundo grupo.

$$x\left(-x+3\right)+15\left(-x+3\right)$$

Decomponha o termo comum -x+3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(x+15\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+3=0 e x+15=0.

$$x=3 x=-15$$

A variável x não pode de ser igual a -15.

$$x=3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x\left(x+15\right),x+15.

$$45+x\times 3=x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$45+x\times 3=x^{2}+15x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}=15x$$

Subtraia 15x de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}-15x=0$$

Combine x\times 3 e -15x para obter -12x.

$$45-12x-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}-12x+45=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -12 por b e 45 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 45}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-1\right)\times 45}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+4\times 45}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 45.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\left(-1\right)}$$

Some 144 com 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 324.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -12 é 12.

$$x=\frac{12±18}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{12±18}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±18}{-2} quando ± for uma adição. Some 12 com 18.

$$x=\frac{30}{-2}$$

Divida 30 por -2.

$$x=-15$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±18}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 18 de 12.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divida -6 por -2.

$$x=3$$

A equação está resolvida.

$$x=-15 x=3$$

A variável x não pode de ser igual a -15.

$$x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -15,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+15\right), o mínimo múltiplo comum de x\left(x+15\right),x+15.

$$45+x\times 3=x\left(x+15\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$45+x\times 3=x^{2}+15x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}=15x$$

Subtraia 15x de ambos os lados.

$$45+x\times 3-x^{2}-15x=0$$

Combine x\times 3 e -15x para obter -12x.

$$45-12x-x^{2}=0$$

Subtraia 45 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-12x-x^{2}=-45$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-12x=-45$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-12x}{-1}=-\frac{45}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{-1}\right)x=-\frac{45}{-1}$$

Divida -12 por -1.

$$x^{2}+12x=-\frac{45}{-1}$$

Divida -45 por -1.

$$x^{2}+12x=45$$

Divida 12, o coeficiente do termo x, 2 para obter 6. Em seguida, adicione o quadrado de 6 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+12x+6^{2}=45+6^{2}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=45+36$$

Some 45 com 36.

$$x^{2}+12x+36=81$$

Fatorize x^{2}+12x+36. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=81$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{81}$$

Simplifique.

$$x+6=9 x+6=-9$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-15$$

A variável x não pode de ser igual a -15.

$$x=3$$