Resolver 4a^2+36a+81/a^2+9=13

$$\frac { 4 a ^ { 2 } + 36 a + 81 } { a ^ { 2 } + 9 } = 13$$

Resolva para a

$$a=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplique ambos os lados da equação por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13\left(a^{2}+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13 por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13a^{2}+117$$

Subtraia 13a^{2} de ambos os lados.

$$4a^{2}+36a+81-13a^{2}=117$$

Combine 4a^{2} e -13a^{2} para obter -9a^{2}.

$$-9a^{2}+36a+81=117$$

Subtraia 117 de ambos os lados.

$$-9a^{2}+36a+81-117=0$$

Subtraia 117 de 81 para obter -36.

$$-9a^{2}+36a-36=0$$

Divida ambos os lados por 9.

$$-a^{2}+4a-4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -a^{2}+aa+ba-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=-\left(-4\right)=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=2 b=2$$

Reescreva -a^{2}+4a-4 como \left(-a^{2}+2a\right)+\left(2a-4\right).

$$\left(-a^{2}+2a\right)+\left(2a-4\right)$$

Fator out -a no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$-a\left(a-2\right)+2\left(a-2\right)$$

Decomponha o termo comum a-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(a-2\right)\left(-a+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva a-2=0 e -a+2=0.

$$a=2 a=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplique ambos os lados da equação por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13\left(a^{2}+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13 por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13a^{2}+117$$

Subtraia 13a^{2} de ambos os lados.

$$4a^{2}+36a+81-13a^{2}=117$$

Combine 4a^{2} e -13a^{2} para obter -9a^{2}.

$$-9a^{2}+36a+81=117$$

Subtraia 117 de ambos os lados.

$$-9a^{2}+36a+81-117=0$$

Subtraia 117 de 81 para obter -36.

$$-9a^{2}+36a-36=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -9 por a, 36 por b e -36 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-9\right)\left(-36\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Calcule o quadrado de 36.

$$a=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-9\right)\left(-36\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique -4 vezes -9.

$$a=\frac{-36±\sqrt{1296+36\left(-36\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique 36 vezes -36.

$$a=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\left(-9\right)}$$

Some 1296 com -1296.

$$a=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$a=-\frac{36}{2\left(-9\right)}$$

Multiplique 2 vezes -9.

$$a=-\frac{36}{-18}$$

Divida -36 por -18.

$$a=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplique ambos os lados da equação por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13\left(a^{2}+9\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 13 por a^{2}+9.

$$4a^{2}+36a+81=13a^{2}+117$$

Subtraia 13a^{2} de ambos os lados.

$$4a^{2}+36a+81-13a^{2}=117$$

Combine 4a^{2} e -13a^{2} para obter -9a^{2}.

$$-9a^{2}+36a+81=117$$

Subtraia 81 de ambos os lados.

$$-9a^{2}+36a=117-81$$

Subtraia 81 de 117 para obter 36.

$$-9a^{2}+36a=36$$

Divida ambos os lados por -9.

$$\frac{-9a^{2}+36a}{-9}=\frac{36}{-9}$$

Dividir por -9 anula a multiplicação por -9.

$$a^{2}+\frac{36}{-9}a=\frac{36}{-9}$$

Divida 36 por -9.

$$a^{2}-4a=\frac{36}{-9}$$

Divida 36 por -9.

$$a^{2}-4a=-4$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$a^{2}-4a+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$a^{2}-4a+4=-4+4$$

Some -4 com 4.

$$a^{2}-4a+4=0$$

Fatorize a^{2}-4a+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-2\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(a-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$a-2=0 a-2=0$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$a=2 a=2$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$a=2$$