Resolver 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Resolva para x

$$x=2$$

$$x=12$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,6, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combine 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combine 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A solução é o par que devolve a soma 14.

$$a=12 b=2$$

Reescreva -x^{2}+14x-24 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Fator out -x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Decomponha o termo comum x-12 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-12=0 e -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,6, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combine 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combine 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 14 por b e -24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Some 196 com -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-14±10}{-2} quando ± for uma adição. Some -14 com 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divida -4 por -2.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-14±10}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 10 de -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divida -24 por -2.

$$x=12$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=12$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 0,6, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x-6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combine 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combine 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Adicionar 24 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$14x-x^{2}=24$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Divida 14 por -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Divida 24 por -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Divida -14, o coeficiente do termo x, 2 para obter -7. Em seguida, adicione o quadrado de -7 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Some -24 com 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Fatorize x^{2}-14x+49. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifique.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$x=12 x=2$$