Resolver 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Resolva para x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,-2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcule o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combine -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combine -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtraia 2 de 30 para obter 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx+28. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=6 b=-14$$

Reescreva -3x^{2}-8x+28 como \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Decomponha 3x no primeiro grupo e 14 no segundo.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Decomponha o termo comum -x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione -x+2=0 e 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,-2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcule o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combine -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combine -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtraia 2 de 30 para obter 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, -8 por b e 28 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Some 64 com 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±20}{-6} quando ± for uma adição. Some 8 com 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Reduza a fração \frac{28}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±20}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 20 de 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Divida -12 por -6.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,-2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcule o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraia 2x^{2} de ambos os lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combine -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combine -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraia 30 de ambos os lados.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Subtraia 30 de 2 para obter -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Divida -8 por -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Divida -28 por -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Divida \frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{4}{3}. Em seguida, some o quadrado de \frac{4}{3} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Some \frac{28}{3} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Subtraia \frac{4}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$