Resolver 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Resolva para x

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-4,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcule o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combine 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraia 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combine -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtraia 8 de 2 para obter -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-6. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+6=7 2+3=5$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=3 b=2$$

Reescreva -x^{2}+5x-6 como \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Fator out -x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-4,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcule o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combine 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraia 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combine -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtraia 8 de 2 para obter -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 5 por b e -6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Some 25 com -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±1}{-2} quando ± for uma adição. Some -5 com 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divida -4 por -2.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±1}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divida -6 por -2.

$$x=3$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=3$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,-4,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcule o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combine 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraia 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combinar termos semelhantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adicionar 6x em ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combine -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Subtraia 2 de 8 para obter 6.

$$5x-x^{2}=6$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Divida 5 por -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Divida 6 por -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Divida -5, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Some -6 com \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Fatorize x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Some \frac{5}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=3$$