Resolver 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Resolva para x

$$x=6$$

Passos com a Fatorização

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combine -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Some 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combine -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Subtraia 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-8x+12 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=12$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combine -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Some 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combine -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Subtraia 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescreva x^{2}-8x+12 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Fator out x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combine -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Some 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combine -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Subtraia 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -8 por b e 12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Some 64 com -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±4}{2} quando ± for uma adição. Some 8 com 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±4}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 4 de 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=6$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -2,-1,2, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo múltiplo comum de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combine -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Some 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Subtraia 3x de ambos os lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combine -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Subtraia 14 de ambos os lados.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Subtraia 14 de 2 para obter -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Divida -8, o coeficiente do termo x, 2 para obter -4. Em seguida, adicione o quadrado de -4 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Some -12 com 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Fatorize x^{2}-8x+16. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifique.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$x=6 x=2$$

A variável x não pode de ser igual a 2.

$$x=6$$