Resolver 2mn/m^3+n^3+2m/m^2-n^2-1/m-n

$$\frac { 2 m n } { m ^ { 3 } + n ^ { 3 } } + \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { m - n }$$

Avaliar

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{m^{3}+n^{3}}$$

Passos Rápidos de Resolução

Fatorize a expressão m^{3}+n^{3}. Fatorize a expressão m^{2}-n^{2}.

$$\frac{2mn}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}+\frac{2m}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}-\frac{1}{m-n}$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de \left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right) e \left(m+n\right)\left(m-n\right) é \left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right). Multiplique \frac{2mn}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} vezes \frac{m-n}{m-n}. Multiplique \frac{2m}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)} vezes \frac{m^{2}-mn+n^{2}}{m^{2}-mn+n^{2}}.

$$\frac{2mn\left(m-n\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}+\frac{2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

Uma vez que \frac{2mn\left(m-n\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} e \frac{2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$\frac{2mn\left(m-n\right)+2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

Efetue as multiplicações em 2mn\left(m-n\right)+2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{2m^{2}n-2mn^{2}+2m^{3}-2m^{2}n+2mn^{2}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

Combine termos semelhantes em 2m^{2}n-2mn^{2}+2m^{3}-2m^{2}n+2mn^{2}.

$$\frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de \left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right) e m-n é \left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right). Multiplique \frac{1}{m-n} vezes \frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}.

$$\frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Uma vez que \frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} e \frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{2m^{3}-\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Efetue as multiplicações em 2m^{3}-\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{2m^{3}-m^{3}+m^{2}n-mn^{2}-nm^{2}+n^{2}m-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Combine termos semelhantes em 2m^{3}-m^{3}+m^{2}n-mn^{2}-nm^{2}+n^{2}m-n^{3}.

$$\frac{m^{3}-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Fatorize as expressões que ainda não foram fatorizadas em \frac{m^{3}-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}.

$$\frac{\left(m-n\right)\left(m^{2}+mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Anule m-n no numerador e no denominador.

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

Expanda \left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{m^{3}+n^{3}}$$

Calcular a diferenciação com respeito a m

$$\frac{-m^{4}+2mn^{3}+n^{4}-2nm^{3}-3\left(mn\right)^{2}}{\left(m^{3}+n^{3}\right)^{2}}$$